Himpunan Bilangan

BAB I

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang

Dalam matematika, himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut. Ada banyak jenis-jenis himpunan yang ada, salah satunya adalah himpunan bilangan.

Himpunan bilangan adalah kumpulan bilangan yang cirinya jelas. Jenis-jenis bilangan salah satunya adalah bilangan cacah, dan masih ada lagi yang lain. Bilangan-bilangan ini akan dapat dijadikan himpunan jika dikategorikan dengan jelas.

Oleh karena itu, untuk mengetahui lenih lanjut mengenai himpunan dan himpunan bilangan, maka dalam makalah ini akan dibahas mengenai himpunan dan himpunan bilangan.

B.       Rumusan Masalah

1.      Apa definisi himpunan ?

2.      Apa pengertian himpunan bilangan ?

3.      Apa jenis-jenis himpunan bilangan ?

C.      Tujuan

1.      Untuk mengetahui definisi himpunan,

2.      Untuk mengetahui pengertian himpunan bilangan,

3.      Untuk mengetahui jenis-jenis himpunan bilangan.

BAB II

PEMBAHASAN

A.      Definisi Himpunan

Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 – 1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek.

Kumpulan orang-orang yang pandai tidak merupakan himpunan sebab sifat “pandai” tidak dapat didefinisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat ditentukan secara pasti apakah seseorang guru matematika termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak.Kumpulan bunga yang harum juga bukan merupakan himpunan sebab penentuan harum tidaknya suatu bunga bersifat subjektif, maksudnya bunga yang dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu dianggap harum bagi orang lain.

Jadi, Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

1.         Ciri-ciri Himpunan

a.       Adanya benda yang merupakan suatu anggota himpunan

b.      Adanya sejumlah unsur pembentuk himpunan

c.       Adanya unsur yang bukan termasuk anggota himpunan

2.         Lambang Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf kapital seperti A, B, C, ..., Z. Sedangkan anggota suatu himpunan ditulis diantara kurung kurawal ({}).

3.         Menyatakan Himpunan

Ada tiga cara untuk menyatakan suatu himpunan, yaitu :

a.       Mendaftar adalah suatu metode yang digunakan dengan cara menyebutkan anggotanya satu persatu. Contohnya, X adalah bilangan diantara 0 sampai 10, ditulis A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Contoh lain, Y adalah huruf vokal, ditulis B = {a, i, u, e, o}.

b.   Menggunakan metode pembentukan himpunan, yaitu dengan menyatakan suatu himpunan dengan variabel dan menyatakan sifat-sifatnya. Contohnya, A adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan genap, ditulis A = {x | x adalah bilangan genap}.

c. Dengan menggunakan kata-kata, yaitu dengan cara merangkai kata-kata yang menggambarkan suatu bilangan. Contohnya, A adalah himpunan yang anggotanya adalah bilangan genap, ditulis A = {bilangan genap}.

B.       Pengertian Himpunan Bilangan

Himpunan bilangan adalah kumpulan bilangan yang terdefinisi dengan jelas. Adapun jenis-jenis bilangan yaitu bilangan asli (N), bilangan cacah (C), bilangan bulat (B), bilangan rasional (Q), bilangan irrasional (I). Bilangan-bilangan tersebut apabila dikumpulkan dalam tiap jenisnya akan membentuk suatu himpunan.

C.      Jenis-Jenis Himpunan Bilangan

Adapun jenis-jenis himpunan bilangan yaitu :

1.         Himpunan Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan bilangan yang sering kita gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu pertunjukan seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering pula disebut bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli. Dengan demikian, himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan selanjutnya bertambah satu dari angka sebelumnya. Himpunan bilangan asli dapat dituliskan N = {1, 2, 3, ....}.

2.         Himpunan Bilangan Cacah

Bilangan cacah merupakan bilangan asli yang diawali dengan angka nol (0). Himpunan bilangan cacah merupakan kumpulan bilangan asli yang diawali dengan angka nol (0). Himpunan bilangan cacah dapat dituliskan C = {0, 1, 2, 3, ...}.

3.         Himpunan Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah gabungan bilangan cacah dan bilangan asli negatif. Himpunan bilangan bulat merupakan kumpulan dari gabungan bilangan cacah dan bilangan asli negatif. Himpunan bilangan bulat dapat dituliskan B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

4.         Himpunan Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk , dengan p, q ϵ B, dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan bilangan q disebut penyebut. Bilangan rasional dapat juga ditulis sebagai decimal dengan deret angka yang berulang teratur. Contoh bilangan rasional yaitu, (=0,1666.....),  (=0,3333....),  (=0,5000.....), dan lainnya. Himpunan bilangan rasional adalah kumpulan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  , dengan p, q ϵ B, dan q ≠ 0. Himpunan bilangan rasional dapat dituliskan Q = {  | p, q ϵ B, dan q ≠ 0 }. Contohnya, himpunan bilangan rasional yang lebih dari 0 dan kurang dari 1 dapat dituliskan Q = {  | 0 <  < 1 }.

5.         Himpunan Bilangan Irasional

Bilangan irasional merupakan bilangan yang tidak rasional. Bilangan irasional bukan merupakan bilangan bulat dan juga bukan merupakan bilangan pecahan. Jika ditulis dalam bentuk desimal, bilangan itu tidak mempunyai pola yang berulang secara teratur. Contoh bilangan irasional yaitu,  = 1,732050807 yang ternyata tidak mempunyai pola berulang secara teratur. Bilangan irasional yang lain yaitu n (n=3,14), e (e=2,71828), log 2, dan lainnya. Himpunan bilangan irasional adalah kumpulan bilangan irasional yang tidak berbentuk bilangan pecahan maupun bilangan bulat. Himpunan bilangan irasional dapat dituliskan I = { x | x ϵ I }.

6.         Himpunan Bilangan Genap

Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi dua yang dimulai dari angka 2. Himpunan bilangan genap adalah kumpulan bilangan genap atau bilangan yang habis dibagi dua. Himpunan bilangan genap dapat dituliskan G = {2, 4, 6, ...}.

7.         Himpunan Bilangan Ganjil

Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak dapat dibagi dua dan dimulai dari angka 1. Himpunan bilangan ganjil merupakan kumpulan bilangan yang tidak dapat dibagi dua. Himpunan bilangan ganjil dapat dituliskan K = {1, 3, 5, ...}.

8.      Himpunan Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan yang memiliki dua faktor, yaitu dirinya sendiri dan angka satu. Himpunan bilangan prima adalah bilangan yang memiliki dua faktor. Himpunan bilangan prima dapat dituliskan P = {2, 3, 5, 7, ...}.

9.      Himpunan Kuadrat Bilangan Cacah

Kuadrat bilangan cacah adalah hasil dari bilangan cacah yang dipangkatkan dua. Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah kumpulan bilangan cacah yang dipangkatkan dua. Himpunan kuadrat bilangan cacah dapat dituliskan Y = {0², 1², 2², ...}, atau Y = {0, 1, 4, 9, ...}.

BAB III

PENUTUP

A.      Kesimpulan

1.      Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau objek yang terdefinisi dengan jelas. Himpunan diberi nama dengan huruf kapital dan anggotanya ditulis diantara tanda kurung kurawal.

2.      Himpunan bilangan adalah kumpulan bilangan-bilangan yang terdefinisi dengan jelas.

3.      Jenis-jenis himpunan bilangan yaitu, himpunan bilangan asli, himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan rasional, dan sebagainya.

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 2009. Bilangan Rasional dan Irasional. (online) Tersedia : http://matematikaituasik.blogspot.com/2009/10/bilangan-rasional-dan-irasional.html diakses 1 Juni 2014

Blora, Pariyanti. 2010. Materi Himpunan. (online) Tersedia : http://pariyantiblora.blogspot.com/2010/07/materi-himpunan.html diakses 31 Mei 2014

Prens, Yos3. 2013. Konsep Himpunan. (online) Tersedia : https://yos3prens.wordpress.com/2013/10/25/konsep-himpunan/ diakses 1 Juni 2014

Putra. Macam-Macam Himpunan Bilangan. (online) Tersedia : http://putramatika.wordpress.com/macam-macam-himpunan-bilangan/ diakses 1 Juni 2014

                    . 2013. Himpunan Matematika. (online) Tersedia : http://himpunan-matematika.blogspot.com/ diakses 1 Juni 2014

TANYA JAWAB

Pertanyaan :

1.        Berikan contoh yang mana termasuk bilangan cacah ! dan mengapa nol tidak termasuk bilangan asli ?

2.        Apa itu himpunan bilangan ? Berikan penjelasan mengenai bagian-bagiannya!

3.        Mengapa q tidak sama dengan nol pada bentuk bilangan rasional ?

4.        Bagaimana himpunan bagian suatu himpunan bilangan ?

5.        Berikan contoh jenis-jenis himpunan bilangan !

6.        Bagaimana implikasi himpunan bilangan dalam kehidupan sehari-hari ?

Jawaban :

1.      Yang termasuk bilangan cacah adalah angka 0, 1, 2, 3, ..., ..., . Nol tidak termasuk bilangan asli sebab bilangan asli dimulai dari angka 1 sesuai dengan pengertian dari bilangan asli itu sendiri.

2.      Himpunan bilangan adalah kumpulan bilangan-bilangan yang terdefinisi dengan jelas. Himpunan bilangan terbagi menjadi himpunan bilangan asli : himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan selanjutnya bertambah satu dari angka sebelumnya; himpunan bilangan cacah : kumpulan bilangan asli yang diawali dengan angka nol (0); himpunan bilangan bulat : kumpulan dari gabungan bilangan cacah dan bilangan asli negatif; himpunan bilangan rasional : kumpulan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  , dengan p, q ϵ B, dan q ≠ 0; himpunan bilangan irasional : kumpulan bilangan irasional yang tidak berbentuk bilangan pecahan maupun bilangan bulat; himpunan bilangan genap : kumpulan bilangan genap atau bilangan yang habis dibagi dua; himpunan bilangan ganjil : kumpulan bilangan yang tidak dapat dibagi dua; himpunan bilangan prima adalah bilangan yang memiliki dua faktor; himpunan kuadrat bilangan cacah : kumpulan bilangan cacah yang dipangkatkan dua.

3.      Nilai q tidak sama dengan nol sebab pada bilangan rasional q adalah penyebut, sehingga apabila penyebut bernilai nol hasil dari bilangan rasional tersebut tidak terdefinisi.

4.      Himpunan bagian suatu himpunan bilangan yaitu banyaknya himpunan yang dibentuk oleh anggota suatu himpunan bilangan, mulai dari himpunan yang beranggotakan satu anggota dari himpunan bilangan sampai himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan bilangan tersebut. Misalnya himpunan bagian dari himpunan bilangan A = {1, 2, 3} yaitu himpunan yang beranggotakan satu anggota {1}, {2}, {3}, kemudian yang beranggotakan dua anggota {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, dan terakhir yang beranggotakan tiga anggota {1, 2, 3}. Jadi himpunan bagian dari himpunan bilangan A = {1, 2, 3} ada 7.

5.      Contoh jenis-jenis himpunan bilangan ; A = {1, 2, 3, 4, ...}, B = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, C = {0, 1, 2, 3, ...}, Q = {  | 0 <  < 1 }, I = { x | x ϵ I }, G = {2, 4, 6, ...}, K = {1, 3, 5, ...}, P = {2, 3, 5, 7, ...}, Y = {0², 1², 2², ...}.

6.      Implikasi himpunan bilangan dalam kehidupan sehari-hari misalnya pada pembagian kelompok dalam kelas. Setiap siswa menyebutkan angka secara berurutan kemudian akan dibagi kelompok berdasarkan angka yang disebut tiap siswa, contohnya yang menyebut angka ganjil duduk disebelah kiri sedangkan yang menyebut angka genap duduk disebelah kanan. Pembagian kelompok inilah yang merupakan implikasi himpunan bilangan dimana yang duduk disebelah kanan dapat dikatakan himpunan bilangan genap dan yang duduk disebelah kiri adalah himpunan bilangan ganjil.